Solution particulière d’une équation différentielle linéaire


Définition 1: Une solution particulière d’une équation différentielle linéaire est une fonction qui satisfait l’équation différentielle pour des conditions initiales spécifiques.

Théorème 1: Pour une équation différentielle linéaire d’ordre n : \[ a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + … + a_1(x)y’ + a_0(x)y = f(x) \] La solution générale est la somme de :

  • La solution générale de l’équation homogène associée
  • Une solution particulière de l’équation complète

Théorème 2: La méthode de variation des constantes permet de trouver une solution particulière sous la forme : \[ y_p(x) = \sum_{i=1}^n c_i(x)y_i(x) \] où \(y_i(x)\) sont les solutions de l’équation homogène.

Exemples sur la solution particulière d’une équation différentielle linéaire


Exemple 1: Trouver une solution particulière de l’équation \[ y » – 4y = x^2 \]

  • L’équation homogène : \(y » – 4y = 0\)
  • Solutions homogènes : \(y_h = c_1e^{2x} + c_2e^{-2x}\)
  • Cherchons une solution particulière de la forme : \(y_p = ax^2 + bx + c\)
  • En substituant : \(2a – 4(ax^2 + bx + c) = x^2\)
  • Solution particulière : \(y_p = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{8}\)

Exemple 2: Déterminer une solution particulière de \[ y’ + y = e^x \]

  • L’équation homogène : \(y’ + y = 0\)
  • Solution homogène : \(y_h = ce^{-x}\)
  • Essayons \(y_p = Ae^x\)
  • En substituant : \(Ae^x + Ae^x = e^x\)
  • Donc \(2A = 1\)
  • Solution particulière : \(y_p = \frac{1}{2}e^x\)