Somme de fonctions convexes

En mathématiques, la somme de fonctions convexes est une opération qui préserve la convexité. Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions convexes définies sur un ensemble convexe \( C \subseteq \mathbb{R}^n \), alors leur somme \( h = f + g \) est également une fonction convexe. Cette propriété est fondamentale en optimisation convexe et en analyse fonctionnelle.

Formellement, pour tout \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in C \) et tout \( \lambda \in [0, 1] \), on a :

\[ h(\lambda \mathbf{x} + (1 – \lambda) \mathbf{y}) = f(\lambda \mathbf{x} + (1 – \lambda) \mathbf{y}) + g(\lambda \mathbf{x} + (1 – \lambda) \mathbf{y}) \leq \lambda f(\mathbf{x}) + (1 – \lambda) f(\mathbf{y}) + \lambda g(\mathbf{x}) + (1 – \lambda) g(\mathbf{y}) = \lambda h(\mathbf{x}) + (1 – \lambda) h(\mathbf{y}) \]

Voici quelques propriétés importantes de la somme de fonctions convexes :

• Convexité : La somme de deux fonctions convexes est convexe.
• Linéarité : La somme de fonctions convexes est une opération linéaire, c’est-à-dire que pour tout \( \alpha, \beta \geq 0 \), \( \alpha f + \beta g \) est convexe.
• Applications : Cette propriété est utilisée pour construire des fonctions objectif convexes en optimisation.

La somme de fonctions convexes est utilisée dans de nombreux domaines, notamment :

• Optimisation convexe : Pour construire des problèmes d’optimisation convexes.
• Apprentissage automatique : Pour définir des fonctions de coût convexes.
• Ingénierie : Pour modéliser des systèmes complexes à l’aide de fonctions convexes.