Les sommes de Newton sont un outil mathématique puissant, souvent utilisé pour étudier les relations entre les racines d’un polynôme et ses coefficients. Elles jouent un rôle clé dans l’algèbre et l’analyse, en particulier dans le cadre des polynômes symétriques.
Sommes de Newton
Les sommes de Newton sont des expressions qui relient les puissances des racines d’un polynôme à ses coefficients. Soit un polynôme de degré \(n\) :
\[ P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \]
Si les racines de ce polynôme sont \(r_1, r_2, \dots, r_n\), alors les sommes de Newton sont définies par :
\[ S_k = r_1^k + r_2^k + \dots + r_n^k \]
où \(k\) est un entier positif. Ces sommes sont liées aux coefficients du polynôme par les formules de récurrence suivantes :
\[ S_k + a_{n-1}S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1}S_1 + k \cdot a_{n-k} = 0 \quad \text{(pour \(k \leq n\))} \]
Ces relations permettent de calculer les sommes de Newton de manière récursive en utilisant les coefficients du polynôme.
Exemples sur Sommes de Newton
Prenons un exemple concret pour illustrer l’utilisation des sommes de Newton. Considérons le polynôme quadratique :
\[ P(x) = x^2 – 5x + 6 \]
Les racines de ce polynôme sont \(r_1 = 2\) et \(r_2 = 3\). Calculons les premières sommes de Newton :
\[ S_1 = r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5 \]
\[ S_2 = r_1^2 + r_2^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \]
On vérifie que ces sommes respectent les relations de récurrence données par les coefficients du polynôme :
\[ S_1 + a_1 = 5 + (-5) = 0 \quad \text{(vérifié)} \]
\[ S_2 + a_1 S_1 + 2a_0 = 13 + (-5) \times 5 + 2 \times 6 = 13 – 25 + 12 = 0 \quad \text{(vérifié)} \]
Un autre exemple serait de considérer le polynôme cubique :
\[ P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \]
Les racines de ce polynôme sont \(r_1 = 1\), \(r_2 = 2\) et \(r_3 = 3\). Calculons les premières sommes de Newton :
\[ S_1 = 1 + 2 + 3 = 6 \]
\[ S_2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14 \]
\[ S_3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 \]
Ces résultats peuvent également être vérifiés à l’aide des relations de récurrence fournies par les coefficients du polynôme.
Ces exemples montrent comment les sommes de Newton permettent de relier les racines d’un polynôme à ses coefficients de manière systématique.