Sommes géométriques

Les sommes géométriques sont un outil essentiel en mathématiques pour calculer la somme des termes d’une suite géométrique. Elles sont largement utilisées dans des domaines tels que les mathématiques financières, les probabilités et l’analyse.

Sommes géométriques

Une somme géométrique correspond à la somme des termes d’une suite géométrique, c’est-à-dire une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante r (la raison). La formule générale pour calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique est :

Sn=a11–rn1–r(si r≠1)

où :

  • Sn est la somme des n premiers termes,
  • a1 est le premier terme,
  • r est la raison,
  • n est le nombre de termes.

Si la raison r=1, la somme se réduit simplement à :

Sn=n×a1

Cette formule est particulièrement utile pour calculer des séries infinies lorsque |r|<1, où la somme converge vers :

S∞=a11–r

Exemples sur Sommes géométriques

Prenons un exemple concret pour illustrer l’utilisation des sommes géométriques. Considérons la suite géométrique suivante : 2,6,18,54,162.

Pour calculer la somme des 5 premiers termes, nous utilisons la formule :

Sn=a11–rn1–r

Ici, a1=2, r=3 et n=5. En remplaçant, nous obtenons :

S5=21–351–3=21–243−2=2−242−2=2×121=242

Ainsi, la somme des 5 premiers termes est 242.

Un autre exemple serait de calculer la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique définie par a1=5 et r=2.

En appliquant la formule :

S6=51–261–2=51–64−1=5−63−1=5×63=315

La somme des 6 premiers termes est donc 315.

Enfin, pour une série géométrique infinie avec |r|<1, considérons a1=1 et r=12. La somme infinie est :

S∞=11–12=112=2

Ces exemples montrent comment les sommes géométriques permettent de calculer efficacement la somme des termes d’une suite géométrique, qu’elle soit finie ou infinie.