Stabilité: marge de phase, marge de gain, critères

Stabilité: marge de phase, marge de gain, critères

Formules à savoir

Pour étudier la Stabilité: marge de phase, marge de gain, critères, voici les formules et définitions fondamentales :

• Fonction de transfert en boucle ouverte \(G(s)H(s)\): Où \(G(s)\) représente la fonction de transfert du système direct, et \(H(s)\) la fonction de transfert de la boucle de rétroaction.
• Marge de gain (MG): La marge de gain indique de combien on peut augmenter le gain du système sans le rendre instable. Elle est mesurée en dB. Le gain critique (à la fréquence où la phase est -180°) doit être inférieur à 0 dB (ou le gain en valeur absolue doit être inférieur à 1) pour assurer la stabilité.
• Marge de phase (MP): La marge de phase indique le déphasage supplémentaire qui peut être introduit dans le système sans le rendre instable. Elle est mesurée en degrés. La marge de phase est calculée à la fréquence de gain unité (0 dB). Une marge de phase positive est nécessaire pour la stabilité. La marge de phase est la différence entre -180° et la phase à la fréquence de gain unité.
• Critère de Nyquist: Ce critère est une méthode graphique pour déterminer la stabilité. Il utilise le tracé de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte. Un système est stable si le tracé de Nyquist n’entoure pas le point \(-1 + j0\).
• Critère de Bode: Une méthode plus simple que le critère de Nyquist, qui utilise les diagrammes de Bode (amplitude et phase) pour évaluer la stabilité à partir des marges de gain et de phase.

Exemples sur la Stabilité: marge de phase, marge de gain, critères

Illustrons ces concepts de Stabilité: marge de phase, marge de gain, critères avec des exemples pratiques.

Exemple 1 : Système du premier ordre avec rétroaction. On considère un système du premier ordre avec fonction de transfert en boucle ouverte \(G(s)H(s) = \frac{K}{1 + sT}\). On cherche à évaluer la stabilité du système en fonction du gain \(K\), avec \(T\) une constante de temps.

Solution: Dans ce cas, le système est toujours stable car sa phase est toujours supérieure à -180° (la phase varie de 0 à -90°). Par conséquent, la marge de phase est toujours positive, et la marge de gain est infinie (car le gain en boucle ouverte diminue sans cesse avec la fréquence). Quelle que soit la valeur de \(K\), le système est stable.

Exemple 2 : Système du second ordre avec rétroaction. Examinons un système du second ordre avec rétroaction et la fonction de transfert en boucle ouverte \(G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+a)}\). On utilise les diagrammes de Bode, afin d’évaluer la stabilité.

Solution: On trace les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte. On cherche la fréquence où le gain est égal à 0 dB pour trouver la marge de phase. On cherche aussi la fréquence où la phase atteint -180° afin de trouver la marge de gain. Si la marge de phase est positive (la phase à 0 dB est supérieure à -180°) et la marge de gain est positive (le gain à -180° est inférieur à 0 dB), le système est stable. Dans le cas contraire, le système est instable. La variation de \(K\) affecte directement la marge de gain.

Exemple 3 : Amplificateur opérationnel avec rétroaction. On analyse la stabilité d’un amplificateur opérationnel (AO) utilisé dans un circuit avec une boucle de rétroaction. On va se baser sur des analyses graphiques avec les diagrammes de Bode.

Solution: Les amplificateurs opérationnels ont une fonction de transfert complexe, avec plusieurs pôles. On utilise souvent des techniques de compensation pour améliorer la stabilité. On trace les diagrammes de Bode de l’amplificateur en boucle ouverte. L’analyse de la marge de phase et de la marge de gain permet de déterminer la stabilité et d’évaluer les modifications nécessaires, comme l’ajout d’un condensateur, pour assurer un fonctionnement stable. Le choix des composants et la topologie du circuit impactent la stabilité.