Suite croissante, décroissante, majorée, minorée, bornée, sous-suite
Définitions et Propriétés
Une suite croissante est une suite \((u_n)\) telle que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \geq u_n\).
Une suite décroissante est une suite \((u_n)\) telle que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \leq u_n\).
Une suite est dite majorée s’il existe un réel \(M\) tel que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq M\).
Une suite est dite minorée s’il existe un réel \(m\) tel que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq m\).
Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Une sous-suite d’une suite \((u_n)\) est une suite \((u_{\phi(n)})\) où \(\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) est une application strictement croissante.
Exemples sur les suites croissantes, décroissantes, majorées, minorées, bornées, sous-suites
Exemple 1 : Suite croissante
La suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n\) est une suite croissante car pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = n+1 \geq n = u_n\).
Exemple 2 : Suite décroissante
La suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{1}{n}\) est une suite décroissante car pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n} = u_n\).
Exemple 3 : Suite majorée
La suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \sin(n)\) est une suite majorée car pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq 1\).
Exemple 4 : Suite minorée
La suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2\) est une suite minorée car pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq 0\).
Exemple 5 : Suite bornée
La suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{(-1)^n}{n}\) est une suite bornée car pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(-1 \leq u_n \leq 1\).
Exemple 6 : Sous-suite
Considérons la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2\). La suite \((u_{2n})\) définie par \(u_{2n} = (2n)^2 = 4n^2\) est une sous-suite de \((u_n)\).