Suite de Cauchy
En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite dont les termes se rapprochent indéfiniment les uns des autres. Formellement, dans un espace métrique \((X, d)\), une suite \((x_n)\) est dite de Cauchy si :
\[ \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n \geq N : d(x_m, x_n) < \varepsilon \]Théorème (Complétude de \(\mathbb{R}\)) : Dans \(\mathbb{R}\), toute suite de Cauchy converge. Ce résultat repose sur la propriété de la borne supérieure, caractéristique des espaces complets.
Exemples sur la suite de Cauchy
Exemple 1 : La suite \(x_n = \frac{1}{n}\) dans \(\mathbb{R}\) est une suite de Cauchy. En effet, pour \(m, n \geq N\), \(|x_m – x_n| \leq \frac{1}{N}\), qui tend vers 0.
Exemple 2 : Dans \(\mathbb{Q}\), la suite \(x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) est de Cauchy, mais sa limite (\(e\)) n’appartient pas à \(\mathbb{Q}\), illustrant l’incomplétude de \(\mathbb{Q}\).
Exemple 3 : La suite définie par \(x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\) est de Cauchy dans \(\mathbb{R}\), car convergente (vers \(\frac{\pi^2}{6}\)).
Exemple 4 : Dans l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme sup, la suite \(f_n(x) = x^n\) n’est pas de Cauchy, car \(\|f_n – f_m\|\) ne tend pas vers 0 pour \(n, m \to \infty\).
Exemple 5 : La suite \(x_n = (-1)^n\) dans \(\mathbb{R}\) n’est pas de Cauchy, puisque \(|x_{n+1} – x_n| = 2\) pour tout \(n\).
Exemple 6 : Dans \(\mathbb{R}^d\), toute suite convergente est de Cauchy. Réciproquement, la complétude garantit que toute suite de Cauchy y converge.