Vocabulaire sur les suites
Une suite \((u_n)\) est dite : • Majorée s’il existe un réel M tel que : \[\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M\] • Minorée s’il existe un réel m tel que : \[\forall n \in \mathbb{N}, u_n \geq m\] • Bornée si elle est à la fois majorée et minorée. • Croissante si : \[\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \geq u_n\] • Strictement croissante si : \[\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} > u_n\] • Décroissante si : \[\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \leq u_n\] • Strictement décroissante si : \[\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} < u_n\] • Monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. • Stationnaire si : \[\exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, u_{n+1} = u_n\]
Suite convergentes et divergentes
Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels ℕ à valeurs dans ℝ. On note généralement une suite par \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\).
Une suite peut être définie de plusieurs façons :
– Par une formule explicite : \(u_n = f(n)\) – Par une relation de récurrence : \(u_{n+1} = f(u_n)\) – Par une définition ensemblisteDéfinition : Une suite \((u_n)\) converge vers une limite \(l \in \mathbb{R}\) si pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un rang \(N \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq N\), on a :
\[|u_n – l| < \varepsilon\]On note alors : \[\lim_{n \to +\infty} u_n = l\]
Théorème : Une suite convergente admet une unique limite.
Proposition : Une suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\) si pour tout \(A > 0\), il existe un rang \(N \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq N\) :
\[u_n > A\]Théorème (Critère de convergence par encadrement) : Soit \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites telles que pour tout \(n \geq n_0\) :
\[v_n \leq u_n \leq w_n\] Si \(\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = l\), alors \((u_n)\) converge et : \[\lim_{n \to +\infty} u_n = l\]Théorème : Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure. Toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.
Opérations sur les limites pour les suites
Dans l’étude des suites numériques, la compréhension des opérations sur les limites est fondamentale. Ces opérations nous permettent de calculer les limites de suites complexes en les décomposant en opérations élémentaires.
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites numériques convergentes de limites respectives \(\ell\) et \(\ell’\). Alors :
1) \(\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \ell + \ell’\)
2) \(\lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = \ell \times \ell’\)
3) Pour tout \(k \in \mathbb{R}\), \(\lim_{n \to +\infty} (k u_n) = k\ell\)
La convergence de ces opérations nécessite certaines conditions préalables :
Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites convergentes avec \(\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell’ \neq 0\), alors :
\[\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell’}\]
Pour les suites composées, nous avons le résultat suivant :
Soit \((u_n)\) une suite convergente vers \(\ell\) et \(f\) une fonction continue en \(\ell\). Alors :
\[\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\lim_{n \to +\infty} u_n) = f(\ell)\]
Les cas particuliers importants incluent :
1) Pour les suites positives : \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{\lim_{n \to +\infty} u_n}\)
2) Pour les puissances : \(\lim_{n \to +\infty} (u_n)^p = (\lim_{n \to +\infty} u_n)^p\), où \(p \in \mathbb{N}\)
Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites convergentes et \(u_n \leq v_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors :
\[\lim_{n \to +\infty} u_n \leq \lim_{n \to +\infty} v_n\]
Ces résultats constituent les outils fondamentaux pour l’étude des limites de suites et permettent de traiter la plupart des cas rencontrés en analyse.
Suites extraites
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Une suite extraite de $(u_n)$ est une suite obtenue en ne conservant qu’une partie des termes de la suite initiale tout en respectant leur ordre d’apparition. Plus précisément, une suite extraite est définie par une application strictement croissante $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ qui permet d’extraire les termes d’indices $\varphi(n)$ de la suite initiale.
La suite extraite est alors notée $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ où $\varphi(n)$ représente une suite strictement croissante d’entiers naturels.
Proposition 1: Si une suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors toute suite extraite de $(u_n)$ converge également vers $l$.
On peut extraire une suite selon différents critères. Par exemple :
- La suite des termes d’indices pairs : $\varphi(n) = 2n$
- La suite des termes d’indices impairs : $\varphi(n) = 2n+1$
- La suite des termes d’indices correspondant aux carrés parfaits : $\varphi(n) = n^2$
Théorème de Bolzano-Weierstrass: De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Une conséquence importante de ce théorème est que toute suite bornée admet au moins une valeur d’adhérence.
Proposition 2: Si $(u_n)$ est une suite croissante (resp. décroissante) alors toute suite extraite de $(u_n)$ est également croissante (resp. décroissante).
La notion de suite extraite est particulièrement utile pour :
- L’étude des valeurs d’adhérence d’une suite
- La démonstration de la convergence ou de la divergence d’une suite
- L’étude des suites de Cauchy
Théorème: Une suite réelle $(u_n)$ converge vers $l$ si et seulement si toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers $l$.
Cette caractérisation de la convergence par les suites extraites est fondamentale en analyse réelle et trouve de nombreuses applications dans l’étude des espaces métriques et topologiques.
Généralités sur les suites récurrentes
Une suite récurrente est une suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où chaque terme est défini en fonction des termes précédents. La forme la plus simple est une suite récurrente d’ordre 1, où chaque terme ne dépend que du terme précédent.
On note généralement une suite récurrente d’ordre 1 sous la forme :
\[ \begin{cases} u_{n+1} = f(u_n) & \text{pour tout } n \geq 0 \\ u_0 \text{ donné} \end{cases} \]où $f$ est une fonction appelée fonction génératrice de la suite.
Pour une suite récurrente d’ordre 1, si la fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $u_0 \in I$, alors :
\[ \text{Si } \forall x \in I, f(x) \in I \text{, la suite est bien définie pour tout } n \in \mathbb{N} \]Les points fixes de la fonction $f$ jouent un rôle crucial dans l’étude des suites récurrentes. Ce sont les solutions de l’équation $f(x) = x$.
Soit $(u_n)$ une suite récurrente définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est continue sur un intervalle $I$. Si la suite converge vers une limite $\ell$, alors :
\[ \ell = f(\ell) \]Autrement dit, la limite est nécessairement un point fixe de $f$.
Pour étudier la convergence d’une suite récurrente, on utilise souvent :
- L’étude de la monotonie
- Le théorème des suites adjacentes
- Le critère de convergence des suites monotones bornées
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Si $f$ est contractante sur $I$ (c’est-à-dire $\exists k \in ]0,1[$ tel que $\forall x,y \in I, |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|$), alors :
- $f$ admet un unique point fixe $\ell$ dans $I$
- Pour tout $u_0 \in I$, la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$
Les suites récurrentes d’ordre supérieur sont définies par une relation faisant intervenir plusieurs termes précédents. Par exemple, une suite récurrente d’ordre 2 s’écrit :
\[ \begin{cases} u_{n+2} = f(u_n, u_{n+1}) & \text{pour tout } n \geq 0 \\ u_0 \text{ et } u_1 \text{ donnés} \end{cases} \]L’étude de telles suites est généralement plus complexe et nécessite des techniques d’analyse avancées.
Suites arithmétiques, suites géométriques
Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels ℕ. Pour tout n ∈ ℕ, le nombre \(u_n\) est appelé le terme de rang n de la suite.
Suites arithmétiques
Une suite \((u_n)\) est dite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence est appelée la raison de la suite, notée r.
Formellement : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} – u_n = r\)
Proposition 1:
Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison r, on a :
\[u_n = u_0 + nr\]
Théorème 1:
La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique est donnée par :
\[S_n = \frac{n}{2}(u_0 + u_{n-1}) = \frac{n}{2}(2u_0 + (n-1)r)\]
Suites géométriques
Une suite \((u_n)\) est dite géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient est appelé la raison de la suite, notée q.
Formellement : \(\forall n \in \mathbb{N}, \frac{u_{n+1}}{u_n} = q\) (avec \(u_n \neq 0\))
Proposition 2:
Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison q, on a :
\[u_n = u_0q^n\]
Théorème 2:
La somme des n premiers termes d’une suite géométrique (q ≠ 1) est donnée par :
\[S_n = u_0\frac{1-q^n}{1-q}\]
Pour q = 1, la suite est constante et \(S_n = nu_0\)
Théorème 3:
Pour une suite géométrique de raison |q| < 1, la suite converge et :
\[\lim_{n \to \infty} u_n = 0\]
\[\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{u_0}{1-q}\]
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 est une suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \geq n_0\) par une relation de la forme :
\[u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n\]
où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels fixes, avec \(b \neq 0\), et où les termes initiaux \(u_{n_0}\) et \(u_{n_0+1}\) sont donnés.
La résolution d’une telle suite nécessite l’étude de son équation caractéristique associée :
\[r^2 – ar – b = 0\]
Théorème 1 :
Soit \((u_n)\) une suite récurrente linéaire d’ordre 2 définie par \(u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n\). La solution générale dépend de la nature des racines de l’équation caractéristique :
- Si \(r_1\) et \(r_2\) sont deux racines réelles distinctes, alors : \[u_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n\]
- Si \(r_0\) est une racine double réelle, alors : \[u_n = (\alpha + \beta n)r_0^n\]
- Si \(r_1 = a + ib\) et \(r_2 = a – ib\) sont deux racines complexes conjuguées, alors : \[u_n = \rho^n(\alpha \cos(n\theta) + \beta \sin(n\theta))\] où \(\rho = \sqrt{a^2 + b^2}\) et \(\theta = \arg(a + ib)\)
Les constantes \(\alpha\) et \(\beta\) sont déterminées à partir des conditions initiales.
Proposition 1 :
Pour toute suite récurrente linéaire d’ordre 2, si \(|r_1| > |r_2|\), alors :
\[\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = r_1\]
où \(r_1\) est la racine de plus grand module de l’équation caractéristique.
La convergence de la suite dépend des modules des racines caractéristiques :
- Si \(|r_1| < 1\) et \(|r_2| < 1\), la suite converge vers 0
- Si \(|r_1| > 1\) ou \(|r_2| > 1\), la suite diverge
- Si \(|r_1| = |r_2| = 1\), la suite est bornée mais ne converge pas nécessairement
Théorème 2 :
Pour une suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients réels, si les conditions initiales sont réelles, alors la suite est réelle, même si les racines caractéristiques sont complexes.