Suites récurrentes
Une suite récurrente est une suite dont chaque terme est défini à partir des termes précédents. Cette définition peut être exprimée par une relation de récurrence.
Définition
Soit \( (u_n) \) une suite récurrente définie par une relation de récurrence de la forme :
\[ u_{n+1} = f(u_n, u_{n-1}, \ldots, u_{n-k}) \]
où \( f \) est une fonction et \( k \) est un entier positif. Les premiers termes \( u_0, u_1, \ldots, u_k \) sont donnés et appelés les conditions initiales.
Propriétés
- Les suites récurrentes peuvent être linéaires ou non linéaires.
- Une suite récurrente linéaire d’ordre 1 a la forme :
- Les suites récurrentes linéaires d’ordre supérieur peuvent être résolues en utilisant des méthodes telles que les polynômes caractéristiques.
\[ u_{n+1} = au_n + b \]
Exemples sur les suites récurrentes
Exemple 1 :
Considérons la suite récurrente définie par :
\[ u_{n+1} = 2u_n + 1 \]
avec la condition initiale \( u_0 = 0 \).
- Calculons les quatre premiers termes :
- Les quatre premiers termes sont donc : 0, 1, 3, 7.
\[ \begin{align*} u_0 &= 0, \\ u_1 &= 2u_0 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1, \\ u_2 &= 2u_1 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3, \\ u_3 &= 2u_2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7. \end{align*} \]
Exemple 2 :
Considérons la suite récurrente définie par :
\[ u_{n+1} = u_n + u_{n-1} \]
avec les conditions initiales \( u_0 = 1 \) et \( u_1 = 1 \).
- Calculons les cinq premiers termes :
- Les cinq premiers termes sont donc : 1, 1, 2, 3, 5.
\[ \begin{align*} u_0 &= 1, \\ u_1 &= 1, \\ u_2 &= u_1 + u_0 = 1 + 1 = 2, \\ u_3 &= u_2 + u_1 = 2 + 1 = 3, \\ u_4 &= u_3 + u_2 = 3 + 2 = 5. \end{align*} \]
Tableau récapitulatif
| Terme | Valeur (Exemple 1) | Valeur (Exemple 2) |
|---|---|---|
| u_0 | 0 | 1 |
| u_1 | 1 | 1 |
| u_2 | 3 | 2 |
| u_3 | 7 | 3 |
| u_4 | – | 5 |