Le Système de coordonnées cylindriques est un système de représentation des points dans l’espace tridimensionnel qui est particulièrement utile pour des problèmes présentant une symétrie autour d’un axe. Ce système est fréquemment utilisé en physique pour étudier des phénomènes liés aux champs magnétiques, aux fluides ou aux structures cylindriques.
Système de coordonnées cylindriques
Dans un Système de coordonnées cylindriques, un point est défini par trois coordonnées :
- \( r \) : La distance radiale entre le point et l’axe \( z \).
- \( \phi \) : L’angle azimutal mesuré par rapport à l’axe positif \( x \) dans le plan \( xy \).
- \( z \) : La hauteur du point par rapport au plan \( xy \).
Les relations entre les coordonnées cylindriques \((r, \phi, z)\) et les coordonnées cartésiennes \((x, y, z)\) sont données par :
\[ x = r \cos\phi, \quad y = r \sin\phi, \quad z = z \]
L’inversement, pour passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques :
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad z = z \]
Ce système est particulièrement efficace lorsqu’il s’agit de traiter des problèmes dont la géométrie est naturellement cylindrique, comme les conduites de fluides ou les champs générés par des bobines.
Exemples sur Système de coordonnées cylindriques
Les exemples suivants montrent comment utiliser le Système de coordonnées cylindriques dans des situations typiques rencontrées en physique. Ces exercices sont représentatifs des applications pratiques et sont souvent abordés en examens.
Exemple 1 : Surface d’un cylindre
Considérons un cylindre de rayon \( R \) et de hauteur \( H \), aligné le long de l’axe \( z \). En coordonnées cylindriques, l’équation de la surface latérale est donnée par :
\[ r = R, \quad 0 \leq \phi \leq 2\pi, \quad 0 \leq z \leq H \]
Pour calculer l’aire de cette surface latérale, on utilise l’élément de surface :
\[ dS = r \, d\phi \, dz \]
En intégrant sur \( \phi \) et \( z \), on obtient :
\[ S = \int_0^{2\pi} \int_0^H R \, d\phi \, dz = 2\pi R H \]
Ce calcul montre comment les coordonnées cylindriques simplifient la résolution de problèmes liés à des objets cylindriques.
Exemple 2 : Volume d’un cylindre
Pour un cylindre de rayon \( R \) et de hauteur \( H \), aligné le long de l’axe \( z \), le volume peut être calculé en intégrant l’élément de volume :
\[ dV = r \, dr \, d\phi \, dz \]
Les limites d’intégration sont :
- \( 0 \leq r \leq R \),
- \( 0 \leq \phi \leq 2\pi \),
- \( 0 \leq z \leq H \).
Le volume total est donc donné par :
\[ V = \int_0^H \int_0^{2\pi} \int_0^R r \, dr \, d\phi \, dz \]
En effectuant les intégrations successives, on obtient :
\[ V = \pi R^2 H \]
Ce résultat classique est une application directe des coordonnées cylindriques à un problème de géométrie.