Tangente hyperbolique (tanh x)
La tangente hyperbolique, notée tanh x, est une fonction mathématique définie pour tout nombre réel \( x \) par :
\[ \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \]Elle est couramment utilisée en mathématiques supérieures, notamment en analyse, en probabilités et en physique. La fonction tanh x possède des propriétés remarquables, telles que :
- Elle est impaire : \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\).
- Elle est bornée : \(-1 < \tanh(x) < 1\) pour tout \( x \).
- Elle admet une dérivée simple : \(\frac{d}{dx} \tanh(x) = 1 – \tanh^2(x)\).
Exemples sur Tangente hyperbolique (tanh x)
Exemple 1 : Calcul de \(\tanh(0)\)
Pour \( x = 0 \), on a :
\[ \tanh(0) = \frac{e^0 – e^{-0}}{e^0 + e^{-0}} = \frac{1 – 1}{1 + 1} = 0 \]Ainsi, \(\tanh(0) = 0\).
Exemple 2 : Calcul de \(\tanh(1)\)
Pour \( x = 1 \), on a :
\[ \tanh(1) = \frac{e^1 – e^{-1}}{e^1 + e^{-1}} \approx \frac{2.71828 – 0.36788}{2.71828 + 0.36788} \approx \frac{2.3504}{3.08616} \approx 0.7616 \]Ainsi, \(\tanh(1) \approx 0.7616\).
Exemple 3 : Limite de \(\tanh(x)\) lorsque \( x \to +\infty \)
Lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), \( e^{-x} \) tend vers 0. Par conséquent :
\[ \tanh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \approx \frac{e^x}{e^x} = 1 \]Ainsi, \(\lim_{x \to +\infty} \tanh(x) = 1\).