Le télescopage est une technique mathématique puissante utilisée pour simplifier des sommes ou des produits en exploitant des annulations successives. Il est particulièrement utile pour évaluer des séries ou des produits complexes de manière efficace.
Télescopage
Le télescopage consiste à décomposer une somme ou un produit en une série de termes qui s’annulent mutuellement, ne laissant qu’un nombre réduit de termes à évaluer. Pour une somme, cela s’écrit :
\[ \sum_{k=1}^{n} (a_k – a_{k+1}) = a_1 – a_{n+1} \]
où chaque terme \(a_k – a_{k+1}\) se simplifie avec le terme suivant, ne laissant que \(a_1\) et \(a_{n+1}\). De même, pour un produit, on a :
\[ \prod_{k=1}^{n} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{a_{n+1}}{a_1} \]
Le télescopage est particulièrement utile pour évaluer des séries infinies ou des produits infinis, ainsi que pour simplifier des expressions complexes.
Exemples sur Télescopage
Prenons un exemple concret pour illustrer le télescopage. Considérons la somme suivante :
\[ \sum_{k=1}^{5} \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) \]
En développant cette somme, nous obtenons :
\[ \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} – \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} – \frac{1}{6}\right) \]
Les termes intermédiaires s’annulent, et il ne reste que :
\[ 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]
Ainsi, la somme vaut \(\frac{5}{6}\).
Un autre exemple serait de considérer le produit suivant :
\[ \prod_{k=1}^{4} \frac{k+1}{k} \]
En développant, nous obtenons :
\[ \frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \]
Les termes intermédiaires s’annulent, et il ne reste que :
\[ \frac{5}{1} = 5 \]
Le produit vaut donc 5.
Enfin, considérons un exemple pratique en analyse. Supposons que nous voulons calculer la somme suivante :
\[ \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k(k+1)}\right) \]
En utilisant une décomposition en fractions partielles, nous pouvons réécrire cette somme comme :
\[ \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}\right) \]
En appliquant le télescopage, nous obtenons :
\[ 1 – \frac{1}{n+1} \]
Ces exemples montrent comment le télescopage permet de simplifier des calculs complexes en exploitant des annulations successives.