Le théorème de dérivabilité des fonctions composées, aussi appelé règle de la chaîne, est un résultat fondamental en calcul différentiel. Il décrit la dérivée d’une fonction composée en termes des dérivées des fonctions composantes. Ce théorème est crucial pour calculer les dérivées de fonctions complexes et est largement utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique et de l’ingénierie.
Théorème de dérivabilité des fonctions composées
Ce théorème stipule que si f et g sont deux fonctions dérivables en des points appropriés, alors la fonction composée h(x) = f(g(x)) est dérivable en ces points, et sa dérivée est donnée par la formule suivante :
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Cette formule, souvent appelée règle de la chaîne, est essentielle pour calculer les dérivées de fonctions composées. Elle montre comment la dérivée de la fonction composée est liée aux dérivées des fonctions individuelles qui la composent.
Conditions d’application : Le théorème s’applique lorsque g est dérivable en x et f est dérivable en g(x). Ces conditions sont cruciales pour assurer la validité de la formule.
Exemples sur le Théorème de dérivabilité des fonctions composées
Exemple 1
Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \sin(x^2)$.
Ici, $g(x) = x^2$ et $f(u) = \sin(u)$. Alors $g'(x) = 2x$ et $f'(u) = \cos(u)$. En appliquant la règle de la chaîne, on obtient:
$f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$
Exemple 2
Trouver la dérivée de $f(x) = \sqrt{1+e^{x^3}}$.
On peut considérer $g(x) = 1+e^{x^3}$ et $f(u) = \sqrt{u}$. Alors $g'(x) = 3x^2 e^{x^3}$ et $f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. La dérivée de la fonction composée est :
$f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+e^{x^3}}} \cdot 3x^2 e^{x^3} = \frac{3x^2 e^{x^3}}{2\sqrt{1+e^{x^3}}}$
Exemple 3
Déterminer la dérivée de $f(x) = \ln(\cos(3x))$.
On définit $g(x) = \cos(3x)$ et $f(u) = \ln(u)$. On a $g'(x) = -3\sin(3x)$ et $f'(u) = \frac{1}{u}$. La dérivée de la fonction composée est :
$f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{\cos(3x)} \cdot (-3\sin(3x)) = -\frac{3\sin(3x)}{\cos(3x)} = -3\tan(3x)$