Théorème de dérivabilité des fonctions réciproques

Théorème de dérivabilité des fonctions réciproques

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un point de \(I\). Si :
  • \(f\) est strictement monotone sur \(I\)
  • \(f\) est dérivable en \(a\)
  • \(f'(a) \neq 0\)
Alors :
  1. \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(f(I)\)
  2. \(f^{-1}\) est dérivable en \(b = f(a)\)
  3. La dérivée de \(f^{-1}\) en \(b\) est donnée par la formule : \[\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}\]

Exemples sur le théorème de dérivabilité des fonctions réciproques

Exemple 1 : Fonction exponentielle et logarithme népérien
Soit \(f(x) = e^x\) définie sur \(\mathbb{R}\). On a :
  • \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
  • \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x) = e^x \neq 0\)
Donc \(f^{-1} = \ln\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{+*}\) et : \[\ln'(x) = \frac{1}{e^{\ln(x)}} = \frac{1}{x}\]
Exemple 2 : Fonction racine carrée
Soit \(f(x) = x^2\) définie sur \(\mathbb{R}^{+}\). Sur \(\mathbb{R}^{+}\) :
  • \(f\) est strictement croissante
  • \(f\) est dérivable et \(f'(x) = 2x \neq 0\) pour \(x > 0\)
Donc \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{+*}\) et : \[\sqrt{x}’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Exemple 3 : Fonction tangente
Soit \(f(x) = \tan(x)\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\). On a :
  • \(f\) est strictement croissante
  • \(f\) est dérivable et \(f'(x) = 1 + \tan^2(x) \neq 0\)
Donc \(f^{-1}(x) = \arctan(x)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et : \[\arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2}\]