Théorème de Fubini (intégrales doubles)
Soit \(f : D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue sur un domaine \(D = [a,b] \times [c,d]\). Le théorème de Fubini affirme que :
\[ \iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y) \, dy\right) dx = \int_c^d \left(\int_a^b f(x,y) \, dx\right) dy \]
Conditions d’application :
– La fonction \(f\) doit être continue sur \(D\)
– Le domaine \(D\) doit être un rectangle ou un produit cartésien d’intervalles
– L’intégrale double doit être absolument convergente
Conséquences importantes :
– L’ordre d’intégration peut être interchangé
– Le calcul se ramène à deux intégrales simples successives
Exemples sur le Théorème de Fubini
Exemple 1 : Calculons \[\iint_{[0,1]\times[0,1]} xy \, dxdy\] Solution : \[ \int_0^1 \left(\int_0^1 xy \, dy\right) dx = \int_0^1 \left(x\frac{y^2}{2}\right)\bigg|_0^1 dx = \int_0^1 \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{4} \] Exemple 2 : Soit \[\iint_{[0,1]\times[0,2]} (x+y) \, dxdy\] Solution : \[ \begin{align*} \int_0^1 \left(\int_0^2 (x+y) \, dy\right) dx &= \int_0^1 \left(xy + \frac{y^2}{2}\right)\bigg|_0^2 dx \\ &= \int_0^1 (2x + 2) \, dx \\ &= [x^2 + 2x]\big|_0^1 \\ &= 3 \end{align*} \]