Théorème de Moivre-Laplace
Le Théorème de Moivre-Laplace est un résultat fondamental en probabilité et statistique, qui fournit une approximation de la loi binomiale par la loi normale. Ce théorème est particulièrement utile pour traiter des problèmes de grande taille où les calculs exacts deviennent impraticables.
Définitions et Théorèmes
Définition : La loi binomiale est une distribution de probabilité discrete qui décrit le nombre de succès dans une série de \(n\) essais indépendants, chaque essai ayant une probabilité \(p\) de succès.
Théorème de Moivre-Laplace : Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi binomiale \(B(n, p)\). Pour \(n\) grand et \(p\) non trop proche de 0 ou 1, la distribution de \(X\) peut être approximée par une loi normale \(N(np, np(1-p))\). Mathématiquement, cela s’exprime comme :
\[ P\left(a \leq \frac{X – np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq b\right) \approx \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx \]Exemples sur le Théorème de Moivre-Laplace
Exemple 1 : Supposons que nous lançons 100 fois une pièce de monnaie (donc \(n = 100\) et \(p = 0.5\)). Nous voulons trouver la probabilité que le nombre de faces obtenues soit entre 40 et 60.
\[ P(40 \leq X \leq 60) \approx P\left(\frac{40 – 50}{5} \leq \frac{X – 50}{5} \leq \frac{60 – 50}{5}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2) \]Où \(Z\) est une variable normale standard. En utilisant la table de la loi normale, nous trouvons :
\[ P(-2 \leq Z \leq 2) \approx 0.9544 \]Exemple 2 : Considérons un test avec 200 questions à choix multiples, chaque question ayant une probabilité de 0.25 d’être correcte. Quelle est la probabilité d’obtenir entre 50 et 70 réponses correctes?
\[ np = 200 \times 0.25 = 50, \quad \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{50 \times 0.75} \approx 6.12 \] \[ P(50 \leq X \leq 70) \approx P\left(\frac{50 – 50}{6.12} \leq \frac{X – 50}{6.12} \leq \frac{70 – 50}{6.12}\right) = P(0 \leq Z \leq 3.28) \]En utilisant la table de la loi normale, nous obtenons :
\[ P(0 \leq Z \leq 3.28) \approx 0.4997 \]Exemple 3 : Pour un essai avec \(n = 500\) et \(p = 0.3\), calculons la probabilité que le nombre de succès soit entre 140 et 160.
\[ np = 500 \times 0.3 = 150, \quad \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \times 0.7} \approx 10.95 \] \[ P(140 \leq X \leq 160) \approx P\left(\frac{140 – 150}{10.95} \leq \frac{X – 150}{10.95} \leq \frac{160 – 150}{10.95}\right) = P(-0.92 \leq Z \leq 0.92) \]En utilisant la table de la loi normale, nous trouvons :
\[ P(-0.92 \leq Z \leq 0.92) \approx 0.8212 \]Ces exemples montrent comment le Théorème de Moivre-Laplace peut être appliqué pour approximer des probabilités dans des situations où la loi binomiale est difficile à manier directement en raison de la grande taille de \(n\). L’utilisation de la loi normale comme approximation simplifie considérablement les calculs tout en fournissant des résultats très précis pour des valeurs de \(n\) suffisamment grandes.