Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) avec démonstration
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle fermé \([a, b]\). Si \(k\) est un nombre compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), c’est-à-dire \(f(a) \le k \le f(b)\) ou \(f(b) \le k \le f(a)\), alors il existe au moins un nombre \(c\) dans l’intervalle \([a, b]\) tel que \(f(c) = k\).
Démonstration du Théorème des valeurs intermédiaires
On va supposer que \(f(a) < k < f(b)\). Le cas \(f(b) < k < f(a)\) se traite de manière analogue. On va construire deux suites adjacentes \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que pour tout \(n\) on ait \(f(a_n) \leq k \leq f(b_n)\).
Initialisation : On pose \(a_0 = a\) et \(b_0 = b\). On a bien \(f(a_0) \leq k \leq f(b_0)\).
Itération : Supposons \(a_n\) et \(b_n\) construits. On considère \(m = \frac{a_n + b_n}{2}\) le milieu de \([a_n, b_n]\).
- Si \(f(m) \leq k\), on pose \(a_{n+1} = m\) et \(b_{n+1} = b_n\).
- Si \(f(m) > k\), on pose \(a_{n+1} = a_n\) et \(b_{n+1} = m\).
Dans les deux cas, on a \(f(a_{n+1}) \leq k \leq f(b_{n+1})\) et \(b_{n+1} – a_{n+1} = \frac{b_n – a_n}{2}\).
On a donc construit deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que :
- \((a_n)\) est croissante.
- \((b_n)\) est décroissante.
- \(b_n – a_n = \frac{b – a}{2^n}\).
- \(f(a_n) \leq k \leq f(b_n)\) pour tout \(n\).
Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes car l’une est croissante, l’autre décroissante, et la différence entre les deux tend vers 0. Elles convergent donc vers une même limite \(c\). Par continuité de \(f\), on a \(f(a_n) \to f(c)\) et \(f(b_n) \to f(c)\) quand \(n \to \infty\). Comme \(f(a_n) \leq k \leq f(b_n)\) pour tout \(n\), on en déduit par passage à la limite que \(f(c) \leq k \leq f(c)\), et donc \(f(c) = k\).
Ceci achève la démonstration du Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)