Théorème d’existence des primitives
Soit \(f : I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). Alors :
Il existe une fonction \(F : I \rightarrow \mathbb{R}\) telle que :
\[ F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I \]
De plus, si \(G\) est une autre primitive de \(f\) sur \(I\), alors il existe une constante réelle \(C\) telle que :
\[ G(x) = F(x) + C \quad \forall x \in I \]
Conséquences importantes :
\[ \int f(x)dx = F(x) + C \]
où \(C\) est une constante arbitraire d’intégration.
Exemples sur le théorème d’existence des primitives
1. Pour \(f(x) = x^n\) avec \(n \neq -1\) : \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] 2. Pour \(f(x) = e^x\) : \[ \int e^x dx = e^x + C \] 3. Pour \(f(x) = \sin(x)\) : \[ \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \] 4. Pour \(f(x) = \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) : \[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \] Application pratique : Ce théorème est essentiel pour : – La résolution d’équations différentielles – Le calcul d’aires sous des courbes – L’étude des fonctions primitives