Le théorème du moment cinétique est une loi fondamentale en mécanique qui relie la variation du moment cinétique à la somme des moments des forces appliquées sur un système. Ce théorème est essentiel pour analyser les mouvements de rotation dans divers contextes physiques.
Théorème du moment cinétique
Le théorème du moment cinétique stipule que la dérivée temporelle du moment cinétique d’un système par rapport à un point est égale à la somme des moments des forces extérieures appliquées au système par rapport à ce même point. Mathématiquement, cela s’écrit :
\[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \sum \vec{\tau} \]
Où :
- \( \vec{L} \) est le moment cinétique (en \(\text{kg·m}^2/\text{s}\)).
- \( \vec{\tau} \) est le moment des forces (en \(\text{N·m}\)).
- \( \frac{d\vec{L}}{dt} \) représente la dérivée temporelle du moment cinétique.
Ce théorème est une conséquence directe des lois de Newton et s’applique aussi bien en mécanique classique qu’en mécanique des solides rigides.
Exemples sur le théorème du moment cinétique
Voici deux exemples d’application du théorème du moment cinétique dans des situations concrètes.
Exemple 1 : Disque en rotation soumis à un couple constant
Considérons un disque homogène de moment d’inertie \( I = 0,2 \, \text{kg·m}^2 \), soumis à un couple constant \( \tau = 0,4 \, \text{N·m} \). En utilisant le théorème du moment cinétique, on peut déterminer l’évolution de sa vitesse angulaire.
L’équation du théorème s’écrit :
\[ \frac{d\vec{L}}{dt} = \tau \implies I \cdot \frac{d\omega}{dt} = \tau \]
En isolant \( \frac{d\omega}{dt} \) :
\[ \frac{d\omega}{dt} = \frac{\tau}{I} = \frac{0,4}{0,2} = 2 \, \text{rad/s}^2 \]
Ainsi, l’accélération angulaire du disque est \( 2 \, \text{rad/s}^2 \).
Exemple 2 : Conservation du moment cinétique
Supposons un satellite en orbite autour de la Terre. Lorsque le satellite se rapproche de la Terre, son moment d’inertie diminue. Selon le théorème du moment cinétique, le moment cinétique total reste constant en l’absence de forces extérieures. Si le moment d’inertie initial est \( I_1 = 10 \, \text{kg·m}^2 \) et la vitesse angulaire initiale est \( \omega_1 = 2 \, \text{rad/s} \), et que le moment d’inertie final devient \( I_2 = 5 \, \text{kg·m}^2 \), alors :
\[ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \]
En substituant les valeurs :
\[ 10 \cdot 2 = 5 \cdot \omega_2 \implies \omega_2 = \frac{20}{5} = 4 \, \text{rad/s} \]
La vitesse angulaire du satellite après s’être rapproché est donc \( 4 \, \text{rad/s} \).