Transformations de fonctions par translation
En mathématiques, les transformations de fonctions par translation consistent à déplacer le graphe d’une fonction horizontalement ou verticalement sans en modifier la forme. Ces transformations sont définies par des modifications de la variable indépendante ou de la fonction elle-même.
- Translation horizontale : Pour une fonction \( f(x) \), la translation horizontale de \( h \) unités est donnée par : \[ f(x – h) \]
- Translation verticale : Pour une fonction \( f(x) \), la translation verticale de \( k \) unités est donnée par : \[ f(x) + k \]
Ces transformations sont utiles pour ajuster les fonctions à des contextes spécifiques tout en conservant leurs propriétés fondamentales.
Exemples sur Transformations de fonctions par translation
Exemple 1 : Translation horizontale de \( f(x) = x^2 \)
Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \). Une translation horizontale de 2 unités vers la droite donne :
\[ f(x – 2) = (x – 2)^2 \]Le graphe de \( f(x – 2) \) est décalé de 2 unités vers la droite par rapport à celui de \( f(x) \).
Exemple 2 : Translation verticale de \( f(x) = \sqrt{x} \)
Considérons la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \). Une translation verticale de 3 unités vers le haut donne :
\[ f(x) + 3 = \sqrt{x} + 3 \]Le graphe de \( f(x) + 3 \) est décalé de 3 unités vers le haut par rapport à celui de \( f(x) \).
Exemple 3 : Translation horizontale et verticale de \( f(x) = \sin(x) \)
Considérons la fonction \( f(x) = \sin(x) \). Une translation horizontale de \( \frac{\pi}{2} \) unités vers la droite et une translation verticale de 2 unités vers le haut donnent :
\[ f\left(x – \frac{\pi}{2}\right) + 2 = \sin\left(x – \frac{\pi}{2}\right) + 2 \]Le graphe de cette fonction est décalé de \( \frac{\pi}{2} \) unités vers la droite et de 2 unités vers le haut.