Trigonométrie

Le cercle trigonométrique, aussi appelé cercle unité, est un cercle dont le centre est l’origine d’un repère orthonormé (O, I, J) et dont le rayon est égal à 1. L’axe des abscisses est appelé l’axe des cosinus et l’axe des ordonnées est appelé l’axe des sinus.

Considérons un point \(M\) sur le cercle trigonométrique. L’angle orienté \((\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM})\), mesuré en radians et souvent noté \( \theta \), est l’angle au centre associé au point \(M\).

Par définition :

• L’abscisse du point \(M\) est le cosinus de l’angle \( \theta \), noté \( \cos(\theta) \).
• L’ordonnée du point \(M\) est le sinus de l’angle \( \theta \), noté \( \sin(\theta) \).

Ainsi, pour tout angle \( \theta \), on a : $$ -1 \leq \cos(\theta) \leq 1 $$ $$ -1 \leq \sin(\theta) \leq 1 $$ Et l’identité fondamentale de la trigonométrie, issue du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par \(O\), la projection de \(M\) sur l’axe des abscisses, et \(M\) : $$ \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 $$

Valeurs usuelles et symétries

Valeurs usuelles des fonctions trigonométriques

Les valeurs usuelles des fonctions trigonométriques sont fondamentales en mathématiques et apparaissent dans de nombreux contextes. Voici un tableau récapitulatif des valeurs de sinus, cosinus, et tangente pour certains angles remarquables :

Angle (°)	Angle (rad)	Sinus	Cosinus	Tangente
0°	0	\(0\)	\(1\)	\(0\)
30°	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
45°	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
60°	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)
90°	\(\frac{\pi}{2}\)	\(1\)	\(0\)	Indéfini

Propriétés de symétrie

Les fonctions trigonométriques possèdent des propriétés de symétrie importantes qui permettent de simplifier de nombreux calculs :

• Périodicité : Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \(2\pi\), tandis que la tangente est périodique de période \(\pi\).
• Symétries :
  • \(\sin(-x) = -\sin(x)\) (fonction impaire)
  • \(\cos(-x) = \cos(x)\) (fonction paire)
  • \(\tan(-x) = -\tan(x)\) (fonction impaire)
• Les fonctions trigonométriques respectent des identités remarquables :
  • \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
  • \(1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)\)

Pour tous angles \(a\) et \(b\), nous avons les formules suivantes:

• \[\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\]
• \[\sin(a – b) = \sin(a)\cos(b) – \cos(a)\sin(b)\]
• \[\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)\]
• \[\cos(a – b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\]
• \[\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)}\]
• \[\tan(a – b) = \frac{\tan(a) – \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}\]

En posant \(b = a\) dans les formules d’addition, on obtient:

• \[\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\]
• \[\cos(2a) = \cos^2(a) – \sin^2(a)\] \[\cos(2a) = 2\cos^2(a) – 1\] \[\cos(2a) = 1 – 2\sin^2(a)\]
\[\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 – \tan^2(a)}\]

On pose :

\[p = a + b\] \[q = a – b\]

Ce qui implique :

\[a = \frac{p+q}{2}\] \[b= \frac{p-q}{2}\]

En utilisant les formules d’addition et en effectuant les substitutions, on obtient les formules suivantes :

• \[\sin(p) + \sin(q) = 2\sin\left(\frac{p + q}{2}\right)\cos\left(\frac{p – q}{2}\right)\]
• \[\sin(p) – \sin(q) = 2\sin\left(\frac{p – q}{2}\right)\cos\left(\frac{p + q}{2}\right)\]
• \[\cos(p) + \cos(q) = 2\cos\left(\frac{p + q}{2}\right)\cos\left(\frac{p – q}{2}\right)\]
• \[\cos(p) – \cos(q) = -2\sin\left(\frac{p + q}{2}\right)\sin\left(\frac{p – q}{2}\right)\]

La fonction sinus, notée \(\sin(x)\), est une fonction trigonométrique fondamentale. Elle associe à chaque angle \(x\) (exprimé en radians) la coordonnée verticale du point correspondant sur le cercle trigonométrique. C’est une fonction périodique et impaire.

Définition : Pour un angle \(x\) en radians, \(\sin(x)\) est l’ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à cet angle.

Propriétés principales :

• Domaine de définition : \(\mathbb{R}\) (tous les nombres réels).
• Image (ensemble des valeurs prises) : \([-1, 1]\).
• Périodicité : \(2\pi\)-périodique. Cela signifie que \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\) pour tout \(x\).
• Parité : Fonction impaire. Cela signifie que \(\sin(-x) = -\sin(x)\) pour tout \(x\).
• Dérivabilité : La fonction sinus est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et sa dérivée est la fonction cosinus : \((\sin(x))’ = \cos(x)\).
• Continuité: La fonction sinus est continue sur \(\mathbb{R}\).

La fonction cosinus, notée \(\cos(x)\), est une autre fonction trigonométrique fondamentale. Elle associe à chaque angle \(x\) (en radians) la coordonnée horizontale du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Comme la fonction sinus, elle est périodique, mais elle est paire.

Définition : Pour un angle \(x\) en radians, \(\cos(x)\) est l’abscisse du point du cercle trigonométrique associé à cet angle.

Propriétés principales :

• Domaine de définition : \(\mathbb{R}\).
• Image : \([-1, 1]\).
• Périodicité : \(2\pi\)-périodique. \(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\) pour tout \(x\).
• Parité : Fonction paire. \(\cos(-x) = \cos(x)\) pour tout \(x\).
• Dérivabilité : La fonction cosinus est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et sa dérivée est l’opposée de la fonction sinus : \((\cos(x))’ = -\sin(x)\).
• Continuité: La fonction cosinus est continue sur \(\mathbb{R}\).

La fonction tangente, notée \(\tan(x)\), est définie comme le rapport du sinus au cosinus : \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Elle est périodique et impaire, mais contrairement aux fonctions sinus et cosinus, elle n’est pas définie partout.

Définition : \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), pour \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\), où \(k\) est un entier relatif.

Propriétés principales :

• Domaine de définition : \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\). La fonction tangente n’est pas définie lorsque le cosinus est nul (c’est-à-dire aux points où le cercle trigonométrique coupe l’axe vertical).
• Image : \(\mathbb{R}\) (tous les nombres réels). La fonction tangente prend toutes les valeurs réelles.
• Périodicité : \(\pi\)-périodique. \(\tan(x + \pi) = \tan(x)\) pour tout \(x\) dans le domaine de définition.
• Parité : Fonction impaire. \(\tan(-x) = -\tan(x)\) pour tout \(x\) dans le domaine de définition.
• Dérivabilité : La fonction tangente est dérivable sur son domaine de définition, et sa dérivée est \((\tan(x))’ = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\).
• Asymptotes verticales : La fonction tangente possède des asymptotes verticales aux points où elle n’est pas définie, c’est-à-dire en \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), où \(k\) est un entier.
• Continuité: La fonction tangente est continue sur son domaine de définition.