Une fonction propositionnelle est un énoncé mathématique contenant une ou plusieurs variables, qui devient une proposition logique lorsque ces variables prennent des valeurs spécifiques.
Une fonction propositionnelle
En logique mathématique, une fonction propositionnelle se note généralement sous la forme :
\[P(x) \text{ ou } P(x,y) \text{ ou } P(x_1,x_2,…,x_n)\]
Le domaine de définition d’une fonction propositionnelle est l’ensemble des valeurs que peuvent prendre ses variables.
L’ensemble de vérité d’une fonction propositionnelle P(x) est l’ensemble des éléments x du domaine qui rendent P(x) vraie :
\[V_P = \{x \in D : P(x) \text{ est vraie}\}\]
Une fonction propositionnelle peut être :
- Identiquement vraie si \(\forall x \in D, P(x)\) est vraie
- Identiquement fausse si \(\forall x \in D, P(x)\) est fausse
- Satisfiable si \(\exists x \in D, P(x)\) est vraie
Exemples sur une fonction propositionnelle
Considérons les fonctions propositionnelles suivantes sur \(\mathbb{R}\) :
\[P(x) : x^2 – 1 = 0\]
L’ensemble de vérité est \(V_P = \{-1,1\}\)
\[Q(x,y) : x^2 + y^2 = 1\]
L’ensemble de vérité est le cercle unité dans \(\mathbb{R}^2\)
\[R(x) : x^2 + 1 = 0\]
Cette fonction propositionnelle est identiquement fausse dans \(\mathbb{R}\)
Composition de fonctions propositionnelles :
\[P(x) \wedge Q(x,y) : (x^2 – 1 = 0) \wedge (x^2 + y^2 = 1)\]
L’ensemble de vérité est \(\{(-1,0),(1,0)\}\)